P h y t a g o r a s 20

Kamis, 10 Maret 2022

Logaritma

1. Definisi Logaritma

Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan.

$\textrm{Jika } a^{b}=c \textrm{ maka } ^{a}log c=b$

dimana a > 0, b > 0 . Dalam logaritma a disebut dengan basis, c disebut dengan numerus

(bilangan yang dilogaritmakan) dan b adalah hasil logaritma.

Jadi : (berlaku juga sebaliknya) $\textrm{Jika } 2^{3}=8 \textrm{ maka } ^{2}log 8=3$

Contoh:

$2^{5}=32 \Panah kiri kanan ^{2}log 32=5$

$10^{-3}=\frac{1}{1000} \Leftrightarrow ^{10}log \frac{1}{1000}=-3$

Dalam logaritma penulisan dasar 10 cukup dengan

$10^{-3}=\frac{1}{1000} \Leftrightarrow log \frac{1}{1000}=-3$

2. Sifat - Sifat Logaritma

$^{a}log(pq)=^{a}log p + ^{a}log q$

Contoh : $^{3}log(4.5)=^{3}log 4 + ^{3}log 5 \textrm{(berlaku sebaliknya)}$

$^{a}log (\frac{p}{q})=^{a}logp - ^{a}logq$

Contoh : $^{2}log 27-^{2}log9= ^{2}log\frac{27}{9}=^{2}log3$

$^{a^m}log (p)^{n}= \frac{n}{m}.^{a}log (p)$

Contoh : $^{2^3}log(3^6)=\frac{6}{3}.^{2}log3= 2. ^{2}log3$

$^{a}log p= \frac{^{q}log p}{^{q}log a}$

Contoh : $^{5}log6 = \frac{^{3}log6}{^{3}log5} \textrm{(bebas memilih dasar asalkannya sama)}$

$^{a}loga=1$
$^{a}log1=0 \Panah kanan a^0=1$
$^{a}logp=\frac{1}{^{p}loga}$
$^{a}log. ^{p}logc=^{a}logc$

Contoh Soal .

$1. \textrm{Sederhanakan bentuk logaritma berikut!}$

$^3log15+^3log2-^3log10=...$

Penyelesaian : $^3log(\frac{15.2}{10})=^3log\frac{30}{10}=^3log3=1$

$2. \textrm{Bentuk sederhana dari}^3log\sqrt{3}-^{3^2}log\frac{1}{9}+^3log27=...$

Penyelesaian : $^3log{3^\frac{1}{2}}-^{3^2}log3^{-2}+^3log3^{3}$

= $\frac{1}{2}.^3log3-(\frac{-2}{2})^3log3+3^3log3=\frac{1}{2}+1+3=4\frac{1}{ 2}$

$3. \textrm{Jika log3=0,477 dan log5= 0,698 maka } log\sqrt{15}=...$

Penyelesaian : $log\sqrt{15}=\frac{1}{2}. log(3.5)=\frac{1}{2}. (log3+log5)$

= $\frac{1}{2}. (0,477+0,698)=\frac{1,175}{2}=0,5875$

$4. \textrm{Jika}^3log2= m, ^2log5=n, maka ^8log15=...$

Penyelesaian : $^8log15=\frac{^2log8}{^2log15}=\frac{^2log2^3}{^2log(3.5)}=\frac{3.^2log2}{^2log3+^2log5}$

= $\frac{3}{\frac{1}{m}+n}=\frac{3}{\frac{1+mn}{m}}=\frac{3m}{mn+1}$

$5. \frac{^{\sqrt{3}}log5.^{25}log3\sqrt{3}-^4log16}{^3log54-^3log2}=...$

Penyelesaian : $\frac{2.^3log5.^{5^2}log3^{\frac{3}{2}}-^{2^2}log2^4}{^3log27}$

= $\frac{2^3log5.\frac{3}{4}^5log3-\frac{4}{2}^2log2}{3.^3log3}=\frac{\frac{3}{2}^3log5. ^5log3-2}{3}=\frac{\frac{3}{2}-2}{3}$

= $\frac{\frac{3}{2}-2}{3}=\frac{\frac{3}{2}-\frac{4}{2}}{3}=\frac{\frac{- 1}{2}}{3}=\frac{-1}{6}$

soal & pembahasan bentuk akar

Soal-soal bentuk akar

$\textrm{1.} 5\sqrt{150}-2\sqrt{54}+3\sqrt{294}-3\sqrt{486}$ $= 5\sqrt{25}\sqrt{6}-2\sqrt{9}\sqrt{6}+3\sqrt{49}\sqrt{6}-3\sqrt{81}\sqrt{6}$

$=25\sqrt{6}-6\sqrt{6}+21\sqrt{6}-27\sqrt{6}$ $=13\sqrt{6}$

$\teksrm{2. }(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ $=\sqrt{6}-3+\sqrt{12}-\sqrt{18}$ $=\sqrt{6}-3+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$

(tidak dapat dijumlahkan dan dikurangkan karena akarnya tidak sejenis)

$\teksrm{3. }(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ $= 3-\sqrt{6}+\sqrt{6}-2 = 3-2=1$

$\teksrm{4. }\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt {2}}{2}$

$\textrm{5.}\frac{8}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=$

$\frac{8}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\frac {8(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5}=\frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2}= 4 (\sqrt{7 }-\sqrt{5})$

$\textrm{6.} \frac{3+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}=...$

$=\frac{3+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt {5}}=\frac{(3+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3-5}$

$=\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{10}}{-2}$

Senin, 07 Maret 2022

Merasionalkan Bentuk Akar

Langkah merasionalkan penyebut yaitu bentuk akar adalah dengan mengalikan bilangan dengan akar sekawan dari penyebutnya.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} =\frac{\sqrt{ab}}{b}$

$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{ b}}{b}$

$\frac{m}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{m}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}-\sqrt{ b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{m(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{ab} \textrm{ (Berlaku sebaliknya)}$

$\frac{m}{a-\sqrt{b}}=\frac{m}{a-\sqrt{b}}.\frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\ frac{m(a+\sqrt{b})}{a^2-b} \textrm{ (Berlaku sebaliknya)}$

Contoh :

$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{ 5}}{5}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{10}}{2}$

$\frac{4}{3-\sqrt{2}}=\frac{4}{3-\sqrt{2}}.\frac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} =\frac{4(3+\sqrt{2})}{9-2}=\frac{4(3+\sqrt{2})}{7}$